斯坦纳—雷米欧斯定理(关于斯坦纳—雷米欧斯定理的简介)

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已知,△ABC中,角平分线BB'和CC'相等,求证:AB=AC

不妨设AB＜AC,则∠1>∠2,在AB'内作D使∠DBB'=∠2,在△BCD中,∠3+∠1＞∠C,则BD>DC.故可在CD上取CE=BD,过E作BD的平行线交CC'于F,因BD=CE,∠3=∠ECF,∠4=∠5,∴△BDB'≌△CEF,∴BB'=CF＜CC'矛盾.

同理AB>AC也不成立。

故AB=AC。

证明斯坦纳——雷米欧斯定理。最好能在全等范围内证，到相似也行。

如图，将△AEC绕点O（点O为BI和CI的中垂线的交点）逆时针旋转，使CE与BD重合，A的对应点为A'。设BD与CE交于I，则I为△ABC的内心，AI平分∠BAC，则旋转后AI的对应线为A'I'。连接AA'，A'B。

证明图

∵∠DA'B=∠BAC（旋转对应角）∴A、A'、B、D四点共圆∴∠AA'D=∠ABD∵∠AID=∠ABD+∠BAI（外角定理）∴∠AID=∠AA'D+∠I'A'D=∠AA'I'∴A、A'、I'、I四点共圆∵AI=A'I'∴四边形AA'I'I是等腰梯形∴AA'∥II'即AA'∥BD∴四边形AA'BD是等腰梯形∴AB=A'D=A'C'∵A'C'=AC∴AB=AC定理证毕

设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC∵BE=DC∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CEF∵2α+2β<180°,∴α+β<90°∴∠FBC=∠CEF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HEF=∠CBG;∵BC=EF,∴Rt△CGB≌Rt△FHE∴CG=FH,BC=HE连接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC

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