李代数的简介

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一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。

李代数是挪威数学家索菲斯·李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。法国数学家嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，嘉当还构造出这些例外代数。嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

对称性在现代物理中占据核心地位，而描述对称性最有力的工具就是群论。在本文我们将简单介绍一种特殊的群——李群。物理上经常会遇到一些能连续变化的对称性，为了描述这种连续变化的对称，我们就要借助李群。比如洛伦兹对称性就是这样一种对称性，借助李群（及它的表示论）的概念，我们可以定量地描述洛伦兹变换甚至由此导出自旋的概念。另一方面，现代粒子物理有一个很重要的思想那就是理论告诉我们实验能看到什么，这当然不是说理论可以瞎编而不用对实验结果负责，应该来说这句话是指只有通过理论才能赋予实验数据意义。从这点上讲，我们如今所谈的“粒子”这个概念其实是指“李群的不可约表示空间的基”这样一个东西。因此即便不进行定量运算，仅仅是从概念上了解现代粒子物理也需要李群的知识。更进一步的，目前人类最准确的物理理论——标准模型，它本质是一个规范理论，而这个规范理论的核心要素规范群就是一个李群。总之，物理学家能不用的数学一定是不用的，而李群李代数如此广泛地出现在物理理论中说明现代粒子物理真的离不开它。本文的目的是简单介绍李群李代数：第一节我们回顾群的基本定义第二节给出李群的定义第三节介绍李代数以及它和李群的关系一、群和对称对称是一个极其常见的概念，但是数学上如何准确地描述这个概念却不是一个简单的问题。为了精确地描述这个概念，我们先诉诸于直观。考虑一个正方形，我们会说它沿对角线或者中线（两条对边中点的连线）对称，原因是沿线两边“长得一样”。如果这时候我们把它沿对称轴翻转，那么由于左右两边长得一样，因此我们看不出翻转操作前后这两个正方形有什么不同，既然如此，我们就可以说在这个操作下正方形是不变的。

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